Question

为什么曲面的偏导数是曲面的法向量

Answer 1

首先从简单开始,如果是平面F(x,y)=0

一般形式是Ax+By+C=0

法向量是(A，B)，因为任意一点(x0，y0)在平面上，A*x0+B*y0+C=0

那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0，即向量(A，B)*(x-x0，y-y0)=0

对于一般曲面 F(x，y，z，……)=0

两边微分(偏导用大写D)，有dF=DF/DX*dx + DF/DY*dy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0

那么向量(DF/DX，DF/DY，DF/DZ，……) * (dx，dy，dz，……)=0

其中向量(dx，dy，dz，……)必定在平面上(d是微分嘛,曲面的微小变化量)

所以向量(DF/DX，DF/DY，DF/DZ，……) 是曲面的法向量

扩展资料：

在xOy平面内，当动点由P(x0，y0)沿不同方向变化时，函数f(x，y)的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f(x，y)在(x0，y0)点处沿不同方向的变化率。函数f(x，y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，f(x，y)的变化率。

当动线按照一定的规律运动时，形成的曲面称为规则曲面；当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。

如果曲面是由直线运动形成的则称为直线面(如圆柱面、圆锥面等)；由曲线运动形成的曲面则称为曲线面(如球面、环面等)。

直线面的连续两直素线彼此平行或相交(即它们位于同一平面上)，这种能无变形地展开成一平面的曲面，属于可展曲面。如连续两直素线彼此交叉(即它们不位于同一平面上)的曲面，则属于不可展曲面。

参考资料来源：百度百科--曲面

Answer 2

针对曲面，一般情况下，我们不研究它的切线，因为它如果在点可微的话，那么它就存在切平面，故可以看做是有无数条的切线，因为它的切线向量无法考虑。所以只研究它的切平面以及切平面的法向量。写出了曲面的切平面的方程，那么就能写出它的法线方向数，即法向量的方向，当然可以取两个中任一个，一般取正。写出之后，正好就是曲面方程对自变量的偏导数。其中曲面的方程是显函数还是隐函数稍微注意一下，其实情况是相同的，只是形式不同

Answer 3

1)首先从简单开始,如果是平面F(x,y)=0
一般形式是Ax+By+C=0
法向量是(A,B).因为任意一点(x0,y0)在平面上,A*x0+B*y0+C=0
那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0,即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=0
2)对于一般曲面 F(x,y,z,……)=0
两边微分(偏导用大写D),有dF=DF/DX*dx + DF/DY*dy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0
那么向量(DF/DX ,DF/DY ,DF/DZ ,……) * (dx ,dy ,dz,……)=0
其中向量(dx ,dy ,dz,……)必定在平面上(d是微分嘛,曲面的微小变化量)
所以向量(DF/DX ,DF/DY ,DF/DZ ,……) 是曲面的法向量

Answer 4

在曲面上任一点M取一条曲线，对曲面求偏导即对这条曲线求切向量，再在M点取另一条曲线，同样求出切向量，这些切向量必在同一平面内，即切平面，而切平面必存在一个法向量，这个法向量必与切向量垂直，同时也是曲面方程求偏导的结果。

Answer 5

错了请指正，谢谢。