Question

二重积分既能算面积又能求体积？那我怎么知道求的是面积还是体积？ 与三重积分体积有什么不同？

Answer 1

单从几何意义上来说，二重积分算的是体积；它的特例，当被积函数为1时，计算结果等效为面积。

几何上的解释就是，当高为1时，体积和底面积的数值相等。同理，三重积分在被积函数为1时，其几何意义才是体积。

二者的区别：

二重积分是在二维区域D上积分，如果把被积函数看做立体的高，得到的是体积；当被积函数为1即高等于1时，这个“体积”退化为面积。

三重积分是在立体区间Ω上积分，当被函数为1，即是这个区域的体积。

扩展资料：

二重积分是二元函数在空间上的积分，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ。

若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

参考资料：百度百科：二重积分

参考资料：百度百科：三重积分

Answer 2

单从几何意义上来说，二重积分算的是体积；它的特例，当被积函数为1时，计算结果等效为面积。几何上的解释就是，当高为1时，体积和底面积的数值相等。同理，三重积分在被积函数为1时，其几何意义才是体积。
二者的区别很明显，二重积分是在二维区域D上积分，如果把被积函数看做立体的高，得到的是体积；当被积函数为1即高等于1时，这个“体积”退化为面积——底面积和体积的数值相等。
三重积分是在立体区间Ω上积分，当被函数为1，即时这个区域的体积。

追问

能不能举两个例子呢里？
二重积分，被积函数为1和不为1的

谢谢~

追答

追问

谢谢老师

Answer 3

公式不同的