Question

数学,反函数问题 求过程 谢谢

Answer 1

f(x)=(e^x-e^(-x))/2的反函数
解：y=(e^x-e^(-x))/2
2y=e^x-e^(-x)
令t=e^x,
2y=t-1/t,
2yt=t^2-1
t^2-2yt-1=0
4y^2+4
t=(2y+-2x(y^2+1)^1/2)/2=y+-(y^2+1)^1/2
t=e^x,f(x)的定义域x:R,t>0
y^2>=0,y^2+1>=1,(y^2+1)^1/2>=1,
y-(y^2+1)^1/2,判断y和（y^2+1)^1/2的大小，1.y<0,-(y^2+1)^1/2<=-1<0,y-(y^2+1)^1/2<0,与t>0矛盾，舍，
2.y=0,t=0+-1=+-1，t>0,t=1,e^x=1,x=ln1=0,x=0,y=0,f(0)=0,原函数是奇函数
3.y>0,(y^2+1)^1/2,y^2>0,y^2+1>0+1=1,(y^2+1)^1/2>1,画出二次函数y^2+1的图像，对称轴y=0,顶点（0,1),开口向上，然后在（0，+无穷）上的值域，(0,+无穷）是函数的单调递增区间，所以在（0，+无穷）上单调递增，y=0,min=0^2+1=0+1=1,y取不到0，所以0对应的函数值y取不到1，y^2+1>1,(y^2+1)^1/2>1>0,二者都>0,两边平方比较大小，y^2,y^2+1,y^2<y^2+1.y<(y^2+1)^1/2,y-(y^2+1)^1/2<0,与t>0矛盾，所以舍
综上：y-(y^2+1)^1/2对于y:R，该值<0,与>0矛盾，所以舍去这个解
y+(y^2+1)^1/2,无论y取何值，该值>0,y>0,改制>0,y=0,0+1=1>0,y<0,-1+2^1/2=1.414-1=0.414>0,三种情况，都>0,所以综上所述，y:R,改制>0
符合t>0
t=y+(y^2+1)^1/2
e^x=y+(y^2+1)^1/2
x=ln[y+(y^2+1)^1/2]
y=ln[x+(x^2+1)^1/2],y=(e^x-e^(-x))/2,反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，求反函数的定义域，就是求原函数的值域，令t=e^x,y=(t-1/t)/2,t>0,
x:R,t>0,t-1/t，t在（0，+无穷）单调递增，1/t在（0，+无穷）上单调递减，a=1/t在(0,+无穷）上是减函数，-1/t=-a，比例系数k=-1<0,该函数在R上是减函数，（0，+无穷）真包含于R,所以（0，+无穷）是R的子区间，是R的一部分，在R上是减函数，那么在（0，+无穷）一定是减函数，然后减减得增，-1/t在（0，+无穷）上是增函数，t-1/t在（0，+无穷）上是增函数，t=0+,min=0-1/0+=0-+无穷=-无穷，t趋向于+无穷，+无穷-1/+无穷=+无穷-0+，0+：>0,趋向于0，推出趋向于0，+无穷-0=+无穷，所以函数的值域（-无穷，+无穷）
所以反函数的定义域是R
A

Answer 2

f(x)=y=(e^x-e^-x)/2
2y=e^x-1/e^x
e^2x-2ye^x-1=0
e^x=y±√(y²+1)
∵e^x>0,y-√(y²+1)<0
∴e^x=y+√(y²+1)
∴x=ln[y+√(y²+1)]
∴反函数：y=ln[x+√(x²+1)]
∵x²+1恒>0、x+√(x²+1)恒>0
∴反函数的定义域是x∈R (可以参考原函数的值域）

Answer 3

应该选第一条的，