Question

这个该怎么证明？求详解！！！

这个该怎么证明？求详解！！！求解！！！！若函数f在点X0处连续，则丨f丨，f²也在X0处连续，反之成立否？举例说明

Answer 1

　　用定义证明极限都是格式的写法，依样画葫芦就是。
　　证明 由于函数f在点x0处连续，故根据定义，对任意给定ε>0（ε<1），存在 δ > 0，使得当 |x-x0| < δ 时，就有
　　　　|f(x)-f(x0)| < ε；
此时，
　　　　||f(x)|-|f(x0)|| ≤ |f(x)-f(x0)| < ε；
另外，由于
　　　　|f(x)| ≤ |f(x)-f(x0)|+|f(x0)| < 1+|f(x0)|，
从而
　　　　|f²(x)-f²(x0)| = |f(x)+f(x0)||f(x)-f(x0)|
　　　　　　　　　≤ [|f(x)|+|f(x0)|]*|f(x)-f(x0)|
　　　　　　　　　< [1+2|f(x0)|]*|f(x)-f(x0)|
　　　　　　　　　< [1+2|f(x0)|]*ε，
根据定义可知|f|，f² 也在 x0 处连续。
　　反之是不成立的，例如
　　　　f(x) = -1，x<0；
　　　　　 = 1， x≥0，
……。