Question

利用拉格朗日中值定理证明arctanx≤x

Answer 1

注意，这个结论要成立，必须让x≥0，因为x≤0时结论会变成arctanx≥x
现用拉格朗日中值定理证明如下：
I. x≤0
设f(x)=arctanx，则f(x)在(-∞,0]连续，在(-∞,0)可导
取ξ∈[x,0]，在此区间上对f(x)应用拉格朗日中值定理，有f(0)-f(x)=(0-x)f'(ξ)
即-arctanx=-x/(1+ξ^2)，亦即arctanx=x/(1+ξ^2)
但注意，此时x≤0，因此x/(1+ξ^2)≥x/1=x【x是非正数，本来1/(1+ξ^2)≤1，但左右两边乘以x之后不等号方向必须要改变】
则arctanx=x/(1+ξ^2)≥x，即x≤0时arctanx≥x
II. x≥0
设f(x)=arctanx，则f(x)在[0,+∞]连续，在(0,+∞)可导
取ξ∈[0,x]，在此区间上对f(x)应用拉格朗日中值定理，有f(x)-f(0)=(x-0)f'(ξ)
即arctanx=x/(1+ξ^2)≤x【1/(1+ξ^2)≤1，两边乘以非负数x后不等号方向不变】，因此x≥0时arctanx≤x

Answer 2

略懂