Question

详细写下证明过程

Answer 1

先证必要性
因为(f^2(x),f^2(x)+g^2(x))=1
所以存在多项式u(x)和v(x)，使得u(x)*f^2(x)+v(x)*[f^2(x)+g^2(x)]=1
[u(x)f(x)-v(x)f(x)]*f(x)+v(x)g(x)*g(x)=1
因为u(x)f(x)-v(x)f(x)和v(x)g(x)仍为多项式，所以(f(x),g(x))=1
再证充分性
因为(f(x),g(x))=1，所以(f^2(x),g^2(x))=1
所以存在多项式s(x)和t(x)，使得s(x)*f^2(x)+t(x)*g^2(x)=1
[s(x)-t(x)]*f^2(x)+t(x)*[f^2(x)+g^2(x)]=1
因为s(x)-t(x)和t(x)仍为多项式，所以(f^2(x),f^2(x)+g^2(x))=1

追问

充分性的证明第一步有点简略

追答

这个结论很显然的
因为(f(x),g(x))=1，说明f(x)和g(x)没有公因式
因为f^2(x)的因式都是f(x)的因式的平方，g^2(x)的因式都是g(x)的因式的平方
所以f^2(x)和g^2(x)也没有公因式

Answer 2

如图