Question

求解，一道微分方程

求解，一道微分方程y''=（y'）^2+y'
要求有过程

Answer 1

Answer 2

解：先解齐次方程x(x²+1)y'-2y=0
∵x(x²+1)y'-2y=0
==>x(x²+1)y'=2y
==>dy/y=2dx/[x(x²+1)]
==>dy/y=d(x²)/[x²(x²+1)]
==>dy/y=[1/x²-1/(x²+1)]d(x²)
==>ln|y|=ln(x²)-ln(x²+1)+ln|C|
(C是积分常数)
==>y=Cx²/(x²+1)
∴齐次方程的通解是y=Cx²/(x²+1)
(C是积分常数)
∴设原方程的通解是y=C(x)x²/(x²+1)
(C(x)是关于x的函数)
∵C'(x)=C'(x)x²/(x²+1)+2xC(x)/(x²+1)²
代入原方程化简得C'(x)=(x-1)²e^(-x)
=-(x-1)²e^(-x)+2∫(x-1)e^(-x)dx
(应用分部积分法)
=-(x-1)²e^(-x)-2(x-1)e^(-x)+2∫e^(-x)dx
(应用分部积分法)
=-(x-1)²e^(-x)-2(x-1)e^(-x)-2e^(-x)+C
(C是积分常数)
=C-(x²+2)e^(-x)
∴y=x²/(x²+1)[C-(x²+2)e^(-x)]
故原方程的通解是y=x²/(x²+1)[C-(x²+2)e^(-x)]
(C是积分常数)

Answer 3

设y'=p，则y''=dp/dx
∴dp/dx=p²+p
∴dp/(p²+p)=dx

积分得到，
∴ln|p/(p+1)|=x+C0
∴p/(p+1)=C1·e^x
【其中，C1=±e^C0】

∴p=-C1·e^x/(C1·e^x-1)

两边同时积分得到，通解为
y=-ln|C1·e^x-1|+C2

Answer 4

一阶线性非齐次微分方程：变形为P（x）=-cosxQ（x）= 代入公式求得y=（C+x²）e^sinx