Question

已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x²+y²+2√3x-4√3y+7=0

已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x²+y²+2√3x-4√3y+7=0相交于A，B两点，且AC向量·BC向量=4，求实数a的值
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Answer 1

将⊙C的方程变形为：（x＋√3）^2＋（y－2√3）^2＝8。
∴｜AC｜＝｜BC｜＝2√2。
显然有：cos∠ACB＝向量AC·向量BC/（｜AC｜｜BC｜）＝4/8＝1/2，
∴∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴｜AB｜＝2√2。
依题意，可设A（x1，x1＋a）、B（x2，x2＋a），则：
√［（x1－x2）^2＋（x1＋a－x1－a）^2］＝2√2，
∴（x1－x2）^2＝4，
∴（x1＋x2）^2－4x1x2＝4。
联立：x－y＋a＝0、x^2＋2√3x＋y^2－4√3y＋7＝0，消去y，得：
x^2＋2√3x＋（x＋a）^2－4√3（x＋a）＋7＝0，
∴x^2＋2√3x＋x^2＋2ax＋a^2－4√3x－4√3a＋7＝0，
∴2x^2＋（2a－2√3）x＋a^2－4√3a＋7＝0。
很明显，x1、x2是方程2x^2＋（2a－2√3）x＋a^2－4√3a＋7＝0的两根，
∴由韦达定理，有：x1＋x2＝√3－a、x1x2＝（a^2－4√3a＋7）/2，
∴（√3－a）^2－2（a^2－4√3a＋7）＝4，
∴3－2√3a＋a^2－2a^2＋8√3a－14＝4，
∴a^2－6√3a＋27＝12，
∴（a－3√3）^2＝12，
∴a－3√3＝2√3，或a－3√3＝－2√3，
∴a＝5√3，或a＝√3。
∴满足条件的a的值是：5√3或√3。