Question

6个级数问题

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Answer 1

解：(1)题，设un=1/(n+1)^(3/2)，vn=1/n^(3/2)，则lim(n→∞)un/vn=1。∴级数∑un与级数∑vn有相同的敛散性。而，∑vn是p=3/2>1的p-级数，收敛。∴∑1/(n+1)^(3/2)收敛。
(2)题，∵lim(n→∞)an=(1/6)[(ln2)^3]lim(n→∞)2^n→∞，∴根据级数收敛的必要条件可知，∑(2^n)/n^3发散。
(3)题，设un=n/(n^2+1)，vn=1/n，则lim(n→∞)un/vn=1。∴级数∑un与级数∑vn有相同的敛散性。而，∑vn是p=1/2<1的p-级数，发散。∴∑n/(n^2+1)发散。
(4)题，∵lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)1/(1+1/n)^n=1/e<1，∴根据达朗贝尔判别法/比值审敛法可知，级数∑n!/n^n收敛。
(5)题，∵设an=1/(lnn)^n，∴lim(n→∞)(an)^(1/n)=lim(n→∞)1/(lnn)→0<1，∴根据柯西判别法/根值审敛法可知，级数1/(lnn)^n收敛。
(6)题，∵1/[(3n+1)(3n+4)]=(1/3)[1/(3n+1)-1/(3n+4)]，∴∑1/[(3n+1)(3n+4)]=(1/3)[1/4-1/(3n+4)]，而lim(n→∞)1/(3n+4)=0，∴级数∑1/[(3n+1)(3n+4)]收敛、且值为1/12。