Question

求微分方程的通解

求微分方程的通解(1+x)y'=2e∧(-y)-1

Answer 1

①（1+x）y'=2e^(-y) -1
则(1+x)dy/dx=2e^(-y) -1
dy/[2e^(-y) -1]=dx/(1+x)
两边积分得∫dy/[2e^(-y) -1]=∫dx/(1+x)
令e^(-y)=t,y=-lnt
∫dy/[2e^(-y) -1]
=-∫1/t(2t-1)dt
=-2∫(1/(2t-1)-1/2t)dt
=-∫1/(2t-1)d(2t-1)+∫1/2td2t
=ln|2t/(2t-1)|
=ln|2e^(-y)/[2e^(-y)-1]|+C1
=ln|2/(2-e^y)|+C1
∫dx/(1+x)
=ln|1+x|+C2
则ln|2/(2-e^y)|+C1=ln|1+x|+C2
ln|(2-e^y)(1+x)|=C1+ln2-C2
(2-e^y)(1+x)=±e^(C1+ln2-C2)=C
所以(2-e^y)(1+x)=C

追问

标准答案是(1+x)e∧y=2x+c 怎么转化成这种形式啊

追答

。。。小学的化简你都忘了吗？
(2-e^y)(1+x)=c
2(1+x)-e^y(1+x)=c
2+2x-e^y(1+x)=c
e^y(1+x)=2+2x+c
2+c就是个常数
所以e^y(1+x)=2x+c

追问

我有点傻了… 那啥，你去忙…