Question

讨论函数在x=0处的连续性和可导性

Answer 1

连不连续就看极限和函数值关系。x趋近于0，xsin(1/x)会趋近于0的，因为-1≤sin(1/x)≤1，所以x>0时0≤xsin(1/x)≤x，x、0在x趋近于0+的时候都是0，由夹逼原理可知x→0+时xsin(1/x)极限是0。完全类似可以证x<0的时候极限x→0-也是0。所以在0这一点x左右极限相等，均等于函数值0，所以连续。
看可不可导就列出定义式。f'(0)=[f(△x+0)-f(0)]/[△x-0](△x→0)=sin(1/△x)(△x→0)
显然(△x→0)时候sin(1/△x)值不定，可以在[-1,1]之间震荡，越来越快，所以没有极限，也就是导数不存在，这一点不可导。

Answer 2

lim（x~0+）=0；
lim（x~0-）=0
说明左极限与右极限相等
说明函数在x=0处连续

函数在x=0处的导函数：
f'（0-）=lim（x~0-）【f（x）-f（0）】/【x-0】
=lim（x~0-）2/3x^2
=0
f'（0+）=lim（x~0+）【f（x）-f（0）】/【x-0】
=lim(x~0+)x/x
=1
左导数与右导数不相等
说明函数在x=0处不可导

追问

答案是不连续

追答

不连续，肯定是错误的

追问

那就是答案错了