Question

为什么定积分的值就是曲边梯形的面积

为什么定积分的值就是曲边梯形的面积 当Δx趋向无穷小的时候 ΣΔx*F(x)的和是在渐渐变大，也就是说ΣΔx*F(x)的和在靠近曲边梯形的面积值。但是这不正证明他是无限趋向于去边体型的面积呀。假设曲边梯形的面积是10，然后这个ΣΔx*F(x)可能只是趋向于9.9 那看似Δx在趋向于无穷小的时候ΣΔx*F(x)是在慢慢靠近10，可是到了9.9这个值他就到了临界。这样ΣΔx*F(x)的极限值并不是曲边梯形的面积 请高手解答。

Answer 1

请参看下面的图解说明：

追问

亲 我是知道这个推理过程的。就是对这个推理的过程有些质疑。ΣΔx*F(x)对这个式子求极限为什么极限值会是曲边梯形的面积呢。在仔细的想一想，Δx越小，矩形就越多，矩形面积的和就越大，确实他会渐渐接近曲边梯形的面积。但是假设曲边梯形的面积是10，但是ΣΔx*F(x)的极限值是9. 有没有这样的可能呢。

追答

没有。ΣΔx*F(x)，F(x)代表的是矩形面积的高度，Δx代表的时分割成的矩形的宽度，分割的越多，Δx顶部所组成的直线就越来越接近曲边梯形的曲边。Δx*F(x)代表的时分割成的矩形的面积，ΣΔx*F(x)代表的时分割成的矩形的面积的总和。所以假设曲边梯形的面积是10，ΣΔx*F(x)的极限值也会越来越接近10。如果分割矩形的个数的比较少，有可能数值为9。

追问

换句话说limΣΔx*F(x)=9,也就是说无数个矩形面积的和接近于9但小于9，而曲边梯形的面积是10.

追答

limΣΔx*F(x)=9时，确实是无数个矩形面积的和接近于9但小于9，那曲边梯形也要等于9。你假设曲边梯形的面积是10，但是ΣΔx*F(x)的具体数值是有可能为9，比如说你一个曲边梯形内部分尽可能大的画3个矩形，那就肯定不是10了。

追问

亲 其实我对于ΣΔx*F(x)能无限趋向于曲边梯形的面积表示质疑。从图像上来说分割曲边梯形的矩形越多，矩形面积的和越接近曲边梯形的面积，但这不能代表矩形面积的和无限趋向于梯形的面积。也就是说要证明Δx*F(x)的值域为0-S，其中S是取不到的

追答

对，你这理解差不多啊。

最后再算一下极限就好了。