Question

数列收敛就是有极限吗，就是有界数列?那函数呢，有极限的函数一定有界吗

Answer 1

收敛函数一定有极限，有极限的函数不一定收敛。

函数一般不说收敛，只说当x有某种变化趋势时，f(x)是否有极限。数列或者级数，才喜欢说收敛。“收敛”和“有极限”是一个意思，完全等价。收敛一定有界，有界不一定收敛。

根据收敛定义就可以知道，对于数列an存在一个数A，无论给定一个多么小的数e，都能找到数字N，使得n>N时，所有的|an－A|。

有极限是局部有界，收敛是整体有界。函数单调有界可能不存在极限（∞），数列单调有界必有极限。

1、有界数列的应用:

数列有极限的必要条件：

数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界=>数列有极限。

2、函数的有界性：

函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

3、函数有界性的要点：

（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

（2）从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

Answer 2

数列收敛的定义，就是说数列有极限，所以数列收敛，就是有极限。
有极限的数列，一定是有界数列，这个可以证明，也有证明。
收敛函数，指的是，当自变量趋近于∞的时候，函数有极限，收敛函数，不一定有界。

Answer 3

数列收敛就是有极限，必定有界
有极限的函数不一定有界，例如lim(x->∞)(1/x)=0，但f(x)=1/x无界