Question

如何理解收敛的数列一定有界，而有界的

Answer 1

收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。

有界的数列不一定收敛，最简单的例子xn=sin(n)，或者xn=(-1)^n，它们都是有界数列，但n→∞时，xn的极限不存在，所以不收敛。

扩展资料：

收敛数列与其子数列间的关系：

1、子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。

2、若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

3、如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

全局收敛对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

局部收敛若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

参考资料来源：百度百科--收敛数列

Answer 2

收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。
有界的数列不一定收敛，最简单的例子xn=sin(n)，或者xn=(-1)^n，它们都是有界数列，但n→∞时，xn的极限不存在，所以不收敛。

Answer 3

因为数列是：“定义域为正整数的函数”，自变量只能取1.2.3.4...这样的正整数，一直到无穷远处的正整数，所以可能出现极限的地方只能是无穷远处，因为最小的自变量取值为1不存在无穷小

所以当无穷远处有极限了(收敛)则整个函数有界(因为从1到无穷远处每个值都确定，一定会有最大值和最小值)

顺便一提，必须同时有上下界才叫做有界，也就是说整个函数同时存在最大值和最小值。

Answer 4

数列收敛一定是有界的证

Answer 5

既有上界又有下界不是才叫有界吗？