Question

一道关于常数项级数的证明题目

一道关于常数项级数的证明题目证明:常数级数收敛，则（常数项级数）²也收敛。
我的证明过程中的用红笔标注的地方如果不是正项级数那么其成立吗？

Answer 1

你圈起来的部分，确实只有正项才可以，因为如果n为偶数，比如n=2，但是an <0，显然
√(an)² 有意义，但√an 无意义。
不过你这道题的证明不正确，前面你错误地使用了根值审敛法，这个方法是证明收敛的充分条件，不是必要条件。也就是说，已知 Σan收敛，不能得出其根值(an)^(1/n)的极限小于1.
正确的证明如下：
因为Σan收敛，则 lim an =0.

从而 lim(an)^n/an = lim(an)^(n-1) =0 (n≥2)

存在某一项N，当n>N时，有(an)^n < an，又Σan收敛，由比较审敛法知，Σ(an)^n收敛

追问

多谢指教！居然忘了审敛法是充分不必要条件