Question

如何用二重积分求这个体积？

Answer 1

为什么要用二重积分计算，做积分也要先确定积分上下限，这个题目知道上下限，就直接有了结果啊

Answer 2

体积下面是倒圆锥，上面是球缺，两个体积相加。
设r²=x²+y²，用球坐标。
交线是圆，z=rcotβ，r=ztan²β；r²+z²-2az=0
求得：
z=2acos²β，r=asin2β
圆锥高2acos²β，底半径asin2β；
球缺高H=2a-2acos²β=2asin²β；球半径a，V=（π/3）（3a-H）H²；
两个体积相加。
积分法，可以选r~r+dr间部分，z=rcotβ~z=a+√（a²-r²）的环形柱体：
∫（0，asin2β）2πr[a+√（a²-r²）-rcotβ]dr
=∫（0，asin2β）2πr[a+√（a²-r²）]dr-∫（0，asin2β）2πr²cotβdr
=π∫（0，asin2β）[a+√（a²-r²）]dr²-（2πcotβ/3）r³|（0，asin2β）
=π[ar²-（2/3）（a²-r²）^(3/2)]|（0，asin2β）-（2πcotβ/3）a³sin³2β
=π[a³sin²2β-（2/3）[（a²-a²sin²2β）^(3/2)-a³]]-（2πa³/3）sin³2βcotβ
=πa³[sin²2β-（2/3）[cos³2β-1]]-（2πa³/3）sin³2βcotβ
=（πa³/3）{3sin²2β-2cos³2β+2-2sin³2βcotβ}