Question

一道极限题求解

f(x)无法得知是否趋向于0，即 [f(x)+cosx-1]→0 是否趋向于0??? 为何能直接 使用 第二重要极限？解题过程如下图

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Answer 1

分享一种解法。∵lim(x→0)[f(x)+cosx]^(1/x)=e^{lim(x→0)(1/x)ln[f(x)+cosx]}，
∴lim(x→0)(1/x)ln[f(x)+cosx]=3。∴(1/x)ln[f(x)+cosx]比为“0/0”型。
用洛必达法则，有lim(x→0)(1/x)ln[f(x)+cosx]=lim(x→0)[f'(x)-sinx]/[f(x)+cosx]=3。
又，f(x)连续，且f'(0)存在，∴f'(0)=3[1+f(0)]。
供参考。

追问

谢谢回答，我的主要疑惑是解题方案为何可以使用第二重要极限？
题干中哪个条件 能够体现 出limf(x)→0 ? （x→0） 望答复谢谢。

追答

lim(x→0)[f(x)+cosx]^(1/x)=e^{lim(x→0)(1/x)ln[f(x)+cosx]}，是恒等变形。题设条件中，可以能得出f(0)=0存在。∵(1/x)ln[f(x)+cosx]为“0/0”型，∴f(x)+cosx=1。而，f(x)、cosx均为连续函数，∴f(0)=0。
∴f'(0)=3。