Question

求详细的证明过程。

Answer 1

用拉格朗日中值定理及余弦函数的单调性。
考察函数 f(x)=sinx，它在（x1，x2）上可导，[x1，x2] 上连续，
因此由拉格朗日中值定理，存在 a∈（x1，x2）使 f '(a) = (sinx1 - sinx2) / (x1-x2)，
即 cosa = (sinx1 - sinx2) / (x1-x2)，
同理，存在 b∈（x2，x3）使 cosb = (sinx2 - sinx3) / (x2 - x3)，
由于 0<a<b<π，所以 cosa>cosa，
也即 (sinx1 - sinx2) / (x1-x2) > (sinx2 - sinx3) / (x2-x3)。

Answer 2

令f（x）=sinx，则有f'(x)=cosx在（0，π）上为减函数。
f(x)在(x1,x2)上可导，在[x1,x2]上连续，则存在u1∈(x1,x2)，使得f'(u1)=(sinx1-sinx2)/(x1-x2) （拉格朗日中值定理）
同理，存在一点u2∈(x2,x3)，使得f'(u2)=(sinx2-sinx3)/(x2-x3)
其中0<x1<u1<x2<u2<x3<π。
由于u1<u2，f'(x)在（0，π）上为减函数。
得(sinx1-sinx2)/(x1-x2)>(sinx2-sinx3)/(x2-x3)