Question

如何用向量积证明正弦定理

Answer 1

△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C
由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)
在向量等式两边同乘向量j,得·
j·（AC+CB）=j·AB
∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
=│j││AB│cos(90°-A)
∴asinC=csinA （AB的模=c，cos（90º-C）=sinC）（CB的模=a，cos（90º-A）=sinA
∴a/sinA=c/sinC
同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得
c/sinC=b/sinB

Answer 2

作单位向量j⊥AC
j(AC+CB)=jAB
jAC+jCB=jAB
jCB=jAB
|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)
即|CB|sinC=|AB|sinA
a/sinA=c/sinC
其余边同理