Question

求解一道高中数学题！关于不等式。高手进

Answer 1

（1）等价于mx2-2x+（1-m）＜0对任意实数x恒成立，分m=0和m≠0两种情况讨论，再利用大于0恒成立须满足的条件：开口向上，判别式小于0来解m的取值范围．
（2）等价于（x2-1）m-（2x-1）＜0在[-2，2]上恒成立，利用一次函数要么为增函数，要么为减函数两种情况分别讨论即可．
解答：解：（1）原不等式等价于mx2-2x+（1-m）＜0对任意实数x恒成立
当m=0时，-2x+1＜0⇒x$＞\frac{1}{2}$不恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△=4-4m（1-m）＜0}\end{array}\right.$，
∴m无解．故m不存在．
（2）设f（m）=（x2-1）m-（2x-1）
要使f（m）＜0在[-2，2]上恒成立，当且仅当
$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜0}\\{f（-2）＜0}\end{array}\right.$⇔$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-2x-1＜0}\\{-{2x}^{2}-2x+3＜0}\end{array}\right.$
∴$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
∴x的取值范围是{x|$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$}
点评：本题考查了一次函数和二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．