高等数学各种证明方法
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方法1,直接用定义证明:
对于任给的ε>0,要找N,使得当n>N时,有|(n+2)cosn/(n^2-2)|<ε,
而|(n+2)cosn/(n^2-2)-0|≤|(n+2)/(n^2-2)|≤(当n>1时)|≤|(n+n)/(n^2-n^2/2)|
=|2n/n^2/2|=|2n/n^2/2|=4/n,因此只要n>4/ε,就有|(n+2)cosn/(n^2-2)-0|≤…≤4/n<ε,
故取N=[4/ε]+1即可。方法2,用“有界量乘无穷小量还是无穷小量”间接证明:
显然,cosn是有界量,然后参照方法1用定义证明lim(n->无穷)(n+2)/(n²-2)=0,即得证。用定义证明极限的关键是“适当的放缩”,放缩的方法不是唯一的。
针对本题,是“适当的放大”,方法1采用的只是某一种放大方式,还可以用其他方式放大该不等式。另需注意cosn是有界量。
对于任给的ε>0,要找N,使得当n>N时,有|(n+2)cosn/(n^2-2)|<ε,
而|(n+2)cosn/(n^2-2)-0|≤|(n+2)/(n^2-2)|≤(当n>1时)|≤|(n+n)/(n^2-n^2/2)|
=|2n/n^2/2|=|2n/n^2/2|=4/n,因此只要n>4/ε,就有|(n+2)cosn/(n^2-2)-0|≤…≤4/n<ε,
故取N=[4/ε]+1即可。方法2,用“有界量乘无穷小量还是无穷小量”间接证明:
显然,cosn是有界量,然后参照方法1用定义证明lim(n->无穷)(n+2)/(n²-2)=0,即得证。用定义证明极限的关键是“适当的放缩”,放缩的方法不是唯一的。
针对本题,是“适当的放大”,方法1采用的只是某一种放大方式,还可以用其他方式放大该不等式。另需注意cosn是有界量。
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