Question

高等数学各种证明方法

Answer 1

方法1，直接用定义证明：
对于任给的ε>0，要找N，使得当n>N时，有|（n+2）cosn/（n^2-2）|<ε，
而|（n+2）cosn/（n^2-2）-0|≤|（n+2）/（n^2-2）|≤（当n>1时）|≤|（n+n）/（n^2-n^2/2）|
=|2n/n^2/2|=|2n/n^2/2|=4/n，因此只要n>4/ε，就有|（n+2）cosn/（n^2-2）-0|≤…≤4/n<ε，
故取N=[4/ε]+1即可。方法2，用“有界量乘无穷小量还是无穷小量”间接证明：
显然，cosn是有界量，然后参照方法1用定义证明lim（n->无穷）(n+2)/(n²-2)=0，即得证。用定义证明极限的关键是“适当的放缩”，放缩的方法不是唯一的。
针对本题，是“适当的放大”，方法1采用的只是某一种放大方式，还可以用其他方式放大该不等式。另需注意cosn是有界量。