Question

数列证明：1+1/2+1/3+……+1/n>ln(n+1)+n/(2n+2)

Answer 1

推荐你一个解法：
构造函数法。
因为ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1)，
（想一想为什么？是因为（n+1)=(n+1)/n*n/(n-1)*.......3/2*2/1然后两边取对数）
而n/(n+1)=1-1/(n+1)=[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)],
于是我们构造函数：f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,
求导易得：f(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,即f(x)在x>0上单调递增，又f(x)在x=0可连续则f(x)>f(0)=0,x>0。
即x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0,
亦即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],
现将x用1/n（>0）替换整理可得：
1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)]，
并将此不等式n项累加得：
1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(2/1)}+(1/2){[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)]}
=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)...推荐你一个解法：
构造函数法。
因为ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1)，
（想一想为什么？是因为（n+1)=(n+1)/n*n/(n-1)*.......3/2*2/1然后两边取对数）
而n/(n+1)=1-1/(n+1)=[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)],
于是我们构造函数：f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,
求导易得：f(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,即f(x)在x>0上单调递增，又f(x)在x=0可连续则f(x)>f(0)=0,x>0。
即x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0,
亦即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],
现将x用1/n（>0）替换整理可得：
1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)]，
并将此不等式n项累加得：
1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(2/1)}+(1/2){[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)]}
=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]
=ln(n+1)+n/(2n+2),
于是原命题得证！

Answer 2

这个是针对高中水平童鞋的答案，大学童鞋的话，这就太简单了，自己动手就很简单了
记左边Fn,右边Gn，F1=1＞G1=ln2+1/4≈0.693+0.25
①
Fn+1
-Fn=1/（n+1），Gn+1
-Gn=ln(1+1/(n+1))+0.5*[1/(n+1)-1/(n+2)]
令δ=(Fn+1
-Fn)-(Gn+1
-Gn)=0.5(1/(n+1)+1/(n+2))-ln(1+1/(n+1))
又令x=1/(n+1）则δ=0.5（x+x/(1+x)）-ln(1+x)
由于n≥1，0＜x≤0.5，2/3≤1/(1+x)＜1
对δ求导δ‘=0.5（1+1/(1+x)²）-1/(1+x)
=0.5[1-1/(1+x)]²＞0
所以Fn+1
-Fn＞Gn+1
-Gn对于任意n成立
②
由①②可知Fn+1=F1+∑（Fk+1
-Fk）＞G1+∑（Gk+1
-Gk）=Gn+1
此即原不等式
证明完毕

Answer 3

两边同时乘以（-1）将（-1）放到指数上
左边变成：(ln1/4)/4+(ln1/9)/9+...+(ln1/
n^2)/n^2
令f(x)=xlnx
则f(x)/x=lnx单调增加，所以
(ln1/4)/4+(ln1/9)/9+...+(ln1/
n^2)/n^2>(1/4+1/9+...+1/n^2)ln(1/4+1/9+...+1/n^2)
又
1/n(n+1)<1/n^2<1/n(n-1)
(1/4+1/9+...+1/n^2)>1/2-1/(n+1)
(1/4+1/9+...+1/n^2)<1-1/n
所以ln(1/4+1/9+...+1/n^2)
[1/2-1/(n+1)]*ln(1-1/n)>(1-n)/2(n+1)*(-1/n)>-(2n^2-n-1)/(2n+2)
大概就这样，希望能解决问题，疏漏之处望指正（都快一年没有做高考数学了)