Question

求圆的轨迹方程的方法

Answer 1

直接法
由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求轨迹方程，这种方法叫做直接法。
例1
已知动点p到定点f（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点p的轨迹方程。
解：设点p的坐标为（x，y），则由题意可得
。
（1）当x≤3时，方程变为
，化简得
。
（2）当x>3时，方程变为
，化简得
。
故所求的点p的轨迹方程是
或
。
二、定义法
由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹方程，这种方法叫做定义法。
例2
已知圆
的圆心为m1，圆
的圆心为m2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心p的轨迹方程。
解：设动圆的半径为r，由两圆外切的条件可得：
，
。
。
∴动圆圆心p的轨迹是以m1、m2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为
。
三、待定系数法
由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。
例3
已知双曲线中心在原点且一个焦点为f（
，0），直线y=x－1与其相交于m、n两点，mn中点的横坐标为
，求此双曲线方程。
解：设双曲线方程为
。将y=x－1代入方程整理得
。
由韦达定理得
。又有
，联立方程组，解得
。
∴此双曲线的方程为
。
四、参数法
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标，得到动点轨迹的参数方程，再消去参数，从而得到动点轨迹的普通方程，这种方法叫做参数法。
例4
过原点作直线l和抛物线
交于a、b两点，求线段ab的中点m的轨迹方程。
解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程
，得
。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得
。
设a（
），b（
），m（x，y），由韦达定理得
。
由
消去k得
。
又
，所以
。
∴点m的轨迹方程为
我只有这四种，应付高中数学足够了