Question

如图，抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于M

Answer 1

抛物线过c(0,3)点，则c=3，过a(-1,0)，则0=a-b+3，过b(3,0)，则0=9a+3b+3，解得a=-1，b=2
即抛物线方程为y=-x²+2x+3
1)点p(1,4)，直线bc方程为：y=-x+3 一般式为x+y-3=0
则点p到直线bc的距离d=|1+4-3|/√(1²+1²)=√2
设与直线bc平行且距离为√2的直线方程为x+y+m=0，即有：|m+3|/√2=√2
得m=-1或m=-5
联立y=-x²+2x+3与x+y-1=0得交点q坐标为±((3+√17)/2,(-1-√17)/2)
联立y=-x²+2x+3与x+y-5=0得交点q3坐标为(1,3)，其中另一个交点就是p(1,4)
因为此时s△qmb与△pmb是共底边mb，又p及q点到底边距离都为√2，故有这两个三角形面积相等。
2)△rpm与△rmb有公共边rm，则若p和b到直线rm的距离相等，则两三角形以rm为底边的高相等，则面积相等。
设pb中点为n，则坐标n(2,2)， m(1,2)，此时由于必有p和b到直线mn的距离相等
故mn直线方程为：y=2
y=2与y=-x²+2x+3的解x=1±√2 ，即r(1±√2,2)都在x轴上方，满足条件.

Answer 2

1）因为抛物线过（-1，0）、（3，0），因此设解析式为
y=a(x+1)(x-3)
，
将
x=0
，y=3
代入可得
3=
-3a
，解得
a=
-1
，
因此抛物线解析式为
y=
-(x+1)(x-3)=
-x^2+2x+3
。
（2）因为抛物线对称轴为
x=1
，所以
D
坐标为（2，3），
由于
CD//AB
，且
CD=2
，AB=4
，高
h=3
，所以
SABDC=(2+4)*3/2=9
。
（3）容易求得
E（1，2）。设
F（0，b），由于
∠ABC=∠ECF=45°，
所以，当
BA/BC=CE/CF
或
BA/BC=CF/CE
时，两个三角形相似，
则
4/(3√2)=√2/CF
或
4/(3√2)=CF/√2
，
解得
CF=3/2
或
4/3
，
因此由
3-b=3/2
或
3-b=4/3
得
b=3/2
或
b=5/3
，
即
F
坐标为（0，3/2）或（0，5/3）。

Answer 3

如图，抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于M，连接CP，在第一象限的抛物线上是否存在一点R，使△RPC与△RMB面积相等，若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由。
解析：∵抛物线f(x)=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点
∴c=3，f(-1)=a-b+3=0，f(3)=9a+3b+3=0
二式联立解得a=-1,b=2
∴f(x)=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4==>P(1,4)
∵直线BC:
y=-x+3
∴M(1,2)
设在第一象限的抛物线上存在一点R(x,y)，使S(⊿CRP)=
S(⊿MBR)
S(⊿CRP)=1/2(x-y+3)=S(⊿MBR)=1/2(2x+2y-6)
x+3y-9=0
（1）
y=-x^2+2x+3
（2）
(2)代入(1)得-3x^2+7x=0==>x1=7/3，x2=0(舍)
∴R(7/3,20/9)
这里提供一个已知三角形三顶点坐标，计算面积的公式：
|
1
1
1
|
S=1/2|x1
x2
x3|
|y1
y2
y3|
注意三个顶点为一定要逆时针顺序排列

Answer 4

易求得抛物线方程为y=－(x－1)∧2＋4
设R(x0，y0)R到CP距离为(x0－y0＋3)/√2，到BM距离为(x0＋y0－3)/√2
由于面积相等，所以(x0－y0＋3)/√2×√2=(x0＋y0－3)/√2
×2√2，解得x0＋3y0=9
又有R在抛物线上，代入得x=0或7/3，所以R(7/3，20/9)