证明x-y/x<㏑x/y<x-y/y，0<y<x
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构造函数f(t)=㏑t，
则t>0时，f′(t)=1/t>0，
可见，f(t)单调递增.
即0
f(y)，
不妨设0则1/x又，依拉格朗日中值定理得
f(x)-f(y)=f′(ξ)(x-y)
即f′(ξ)=[f(x)-f(y)]/(x-y)=1/ξ，
∴1/ⅹ整理得
(x-y)/x故原不等式得证。
则t>0时，f′(t)=1/t>0，
可见，f(t)单调递增.
即0
f(y)，
不妨设0则1/x又，依拉格朗日中值定理得
f(x)-f(y)=f′(ξ)(x-y)
即f′(ξ)=[f(x)-f(y)]/(x-y)=1/ξ，
∴1/ⅹ整理得
(x-y)/x故原不等式得证。
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