Question

设函数f(x)=∫_1^x▒1/√(1+t^4 ) dt,求定积分∫_0^1▒〖x^2 f(x)dx〗 （求定积分的题目） 如图

Answer 1

证明：
f(x)=∫(1→x)lnt/(1+t²)dt
（作代换s=1/t，则t=1/s，dt=d(1/s)=-ds/s²）
=∫(1→1/x)
ln(1/s)/(1+1/s²)(-ds)/s²
=∫(1→1/x)
lns/(1+s²)ds
而f(1/x)=∫(1→1/x)lnt/(1+t²)dt=∫(1→1/x)
lns/(1+s²)ds
故
f(x)=f(1/x)成立。