Question

求矩阵A=(第一行2 -1 2第二行 5 -3 3第三行 -1 0 -2)的特征值和特征向量

Answer 1

特征多项式为：(η+1)^3

有三重根η=-1

故特征值为η1=η2=η3=-1

对应的特征向量为：α=(1,1,-1)

设矩阵A的特征值为λ

则A-λE=

2-λ -1 2

5 -3-λ 3

-1 0 -2-λ

第一性质

线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。

特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

Answer 2

设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=
2-λ
-1
2
5
-3-λ
3
-1
0
-2-λ
令其行列式等于0，即
2-λ
-1
2
5
-3-λ
3
-1
0
-2-λ
第3列加上第1列乘以-2-λ
=
2-λ
-1
λ^2-2
5
-3-λ
-5λ-7
-1
0
0
按第3行展开
=
-1*[5λ+7-(3+λ)(λ^2-2)]
=-(λ+1)^3
=0
所以解得A的三个特征值都是
-1
那么
A-λE=
3
-1
2
5
-2
3
-1
0
-1
第1行加上第3行×3，第2行加上第3行×5
～
0
-1
-1
0
-2
-2
-1
0
-1
第2行减去第1行，第1行乘以-1，第3行乘以-1，交换第1行和第3行
～
1
0
1
0
0
0
0
1
1
交换第2行和第3行，
～
1
0
1
0
1
1
0
0
0
所以得到特征向量为(1，1，-1)^T
故矩阵A的三个特征值都是-1，
其特征向量为(1，1，-1)^T

Answer 3

因a＝2（1
1
1）（1
1
1）‘－e
而（1
1
1）（1
1
1）’是一个秩为1的矩阵（所有元素都是1），它的迹是3,所以，（1
1
1）（1
1
1）’的特征值为3，0，0，特征向量分别为k1*(1
1
1)‘，k2*(1
-1
0)'，k3*(1
0
-1)',（k1,k2,k3都不为0）
因此，a的特征值分别为2*3-1=5，2*0-1=-1，2*0-1=-1，对应的特征向量分别为k1*(1
1
1)‘，k2*(1
-1
0)'，k3*(1
0
-1)',（k1,k2,k3都不为0）。

Answer 4

特征多项式为：(η+1)^3
有三重根η=-1
故特征值为η1=η2=η3=-1
对应的特征向量为：α=(1,1,-1)