Question

已知数列11×4，14×7，17×10…1(3n-2)×(3n+1)，计算s1，...

已知数列11×4，14×7，17×10…1(3n-2)×(3n+1)，计算s1，s2，s3，s4，猜想sn的表达式，并用数学归纳法证明猜想的正确性.

Answer 1

解答:解:S1=
1
1•4
=
1
4
，S2=
1
1•4
+
1
4•7
=
2
7
S3=
1
1•4
+
1
4•7
+
1
7•10
=
3
10
，S4=
1
1•4
+
1
4•7
+
1
7•10
+
1
10•13
=
4
13
----------(4分)
猜想:Sn=
n
3n+1
----------------------------(6分)
证明:(1)当n=1 时，由上面计算知结论正确.
(2)假设n=k时等式成立，即Sk=
k
3k+1
，
则当n=k+1时
Sk+1=Sk+
1
(3k+1)(3k+4)
=
k
3k+1
+
1
(3k+1)(3k+4)
=
3k2+4k+1
(3k+1)(3k+4)
=
(3k+1)(k+1)
(3k+1)(3k+4)
=
k+1
3k+4
=
k+1
3(k+1)+1
即n=k+1时等式成立
由(1)，(2)知，等式对任意正整数都成立-------------------------(14分)