已知抛物线经过点A(0,3),B(4,1),C(3,0)。
(1)求抛物线解析式;(2)连接AC,BC,AB,求tan∠BAC;(3)点P是该抛物线上一点,且在第一象限内,过点P作PG⊥...
(1)求抛物线解析式; (2)连接AC,BC,AB,求tan∠BAC; (3)点P是该抛物线上一点,且在第一象限内,过点P作PG⊥
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(1)、将
(
0,3)代入
y
=
ax^2
+
bx
+
c,3
=
0
+
0
+
c,c
=
3;
将
(
4,1
)、(
3,0
)
分别代入
y
=
ax^2
+
bx
+
3,
1
=
16a
+
4b
+
3,0
=
9a
+
3b
+
3,解得:a
=
1/2,b
=
-5/2,
抛物线解析式为
y
=
x^2/2
-
5x/2
+
3;
(2)、AC斜率为
(
3-0
)/(
0-3
)
=
-1,BC斜率为
(
4-3
)/(
1-0
)
=
1,
∴
AC⊥BC,△ABC
是C为直角的直角三角形;
tan∠BAC
=
BC/AC
= √2/(3√2)
=
1/3,AC
=
3BC;
(3)
如图:
△APG
与
△AFP
共角A,都是直角三角形,∴
△APG
≌ △AFP;
因此,当
AF
=
3FP,或
FP
=
3AF
时, △ABC ≌ △AFP ≌ △APG;
即点P
y
-
3
=
3x
或
y
-
3
=
x/3;分别代入函数式:
3x
+
3
=
x^2/2
-
5x/2
+
3,x^2
-
11x
=
0,x
=
11,y
=
36;
x/3
+
3
= x^2/2
-
5x/2
+
3, 3x^2
-
17x
=
0,x
=
17/3,y
=
44/9;
点P
有2点,坐标分别为
(
11,36
)、(
17/3,44/9
)
。
(
0,3)代入
y
=
ax^2
+
bx
+
c,3
=
0
+
0
+
c,c
=
3;
将
(
4,1
)、(
3,0
)
分别代入
y
=
ax^2
+
bx
+
3,
1
=
16a
+
4b
+
3,0
=
9a
+
3b
+
3,解得:a
=
1/2,b
=
-5/2,
抛物线解析式为
y
=
x^2/2
-
5x/2
+
3;
(2)、AC斜率为
(
3-0
)/(
0-3
)
=
-1,BC斜率为
(
4-3
)/(
1-0
)
=
1,
∴
AC⊥BC,△ABC
是C为直角的直角三角形;
tan∠BAC
=
BC/AC
= √2/(3√2)
=
1/3,AC
=
3BC;
(3)
如图:
△APG
与
△AFP
共角A,都是直角三角形,∴
△APG
≌ △AFP;
因此,当
AF
=
3FP,或
FP
=
3AF
时, △ABC ≌ △AFP ≌ △APG;
即点P
y
-
3
=
3x
或
y
-
3
=
x/3;分别代入函数式:
3x
+
3
=
x^2/2
-
5x/2
+
3,x^2
-
11x
=
0,x
=
11,y
=
36;
x/3
+
3
= x^2/2
-
5x/2
+
3, 3x^2
-
17x
=
0,x
=
17/3,y
=
44/9;
点P
有2点,坐标分别为
(
11,36
)、(
17/3,44/9
)
。
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