Question

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）三点．

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，y轴上的点E坐标为（0，1），连接DC、EB．试探索抛物线上是否存在一点P，使△PDC和△PBE的面积相等，若存在，求出点P的坐标，并直接写出三角形面积的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

1.设抛物线方程为y=a(x+3)(x-1),把C（0，－3）带入，得出a=1，所以抛物线方程为y=x^2+2x-3.
2.y=x^2+2x-3顶点坐标为D（-1，-4），易得CD解析式为y=x-3,EB解析式为y=-x+1,两直线交点为（2，-1），同时夹角为90°，所以其角平分线直线y=-1与抛物线的交点为所求的P。
当y=-1时，x^2+2x-3=-1，有x1=-1-√3，x2=-1+√3,
当P（-1-√3，-1）时，其到两边距离为（3√2+√6）/2，三角形面积为（3+√3）/2
当P（-1+√3,-1)时，其到两边距离为（3√2-6）/2，三角形面积为（3-3）/2。

Answer 2

根据抛物线y＝ax2＋bx＋c，将点C（0，3）代入原方程中得C等于-3
再将点B与点A代入院方称中得9a-3b+c=0 与a+b+c=0 将两个方程联立得a=b/2
计算得出a=1 b=2 c=-3 代入原方程y＝ax2＋bx＋c的解析式y＝x2＋2x-3

追问

（2）设抛物线的顶点为D，y轴上的点E坐标为（0，1），连接DC、EB．试探索抛物线上是否存在一点P，使△PDC和△PBE的面积相等，若存在，求出点P的坐标，并直接写出三角形面积的值，若不存在，说明理由．

Answer 3

解答:解:根据物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)，
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)，
将C(0，3)代入得:3=-3a，即a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3，
则抛物线的顶点坐标为(1，4);对称轴为直线x=1;增减性为:当x＜1时，y随x的增大而增大;当x＞1时，y随x的增大而减小.