Question

在复数域中，指数函数是周期函数吗？复变判断题，求大佬

Answer 1

周期函数的定义，f（z）=f（z+T）
e^z＝e^（z+T），T＝a+ib
1＝e^T＝（cosα+isinα）e^a
e^-a＝cosα+isinα
当sinα＝0
α＝kπ（k是实整数）
e^-a＝coskπ＝±1

不是周期函数。因为e^-a只可以＝1。也就是a＝0。而周期函数，必须自变量可以取遍定义域的所有值。也就是你说的复数域。
当且仅当定义域是纯虚数域并｛0｝的时候。纯虚数指数函数是周期函数。