Question

高等数学证明题？

Answer 1

把积分变成两个积分变上限函数，变上限函数求导即可。

追问

这种变限积分不拆成两项，直接求导算对吗？

Answer 2

函数的无界性必须通过无界的定义来证明：对于任何M>0，总有一个足够大的n使得(2n+1/2)π > M，取x0 = 1/(2n+1/ 2)π ∈ (0, 1]，则 (1/x)sin(1/x) = [(2n+1/2)π]sin[(2n+1/2)π] = [(2n+1 /2 )π] > M，根据函数无界的定义，可以看出函数在(0, 1]处是无界的。第二，证明当x→0+时函数不是无限的。在事实上，取序列 x(n) = 1/(2nπ ) ∈ (0, 1]，有 x(n)→0+，但是 [1/x(n)]sin[1/x(n)] = (2nπ)sin(2nπ) = 0 → 0 (n→ ∞)，我们知道当 x→0+ 时函数不是无限的。

Answer 3

∑An-A(n-1)=limAn-A1,所以An极限存在,极限存在的数列必有界设|An|≤M,那么由∑Bn收敛,可以知道∑An*Bn绝对收敛,因此该级数必然收敛