Question

过椭圆x^2/9+y^2/4=1内一点(1,0)引弦,求各弦的中点的轨迹方程

Answer 1

过椭圆x²/9+y²/4=1内一点(1,0)引弦,求各弦的中点的轨迹方程
解：设过点(1，0)的直线方程为y=k(x-1)=kx-k，代入椭圆方程得：
4x²+9(kx-k)²=36，展开化简得：(4+9k²)x²-18k²x+9k²-36=0
设弦的两个端点的坐标为(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，那么依韦达定理有：
x₁+x₂=18k²/(4+9k²)；
y₁+y₂=(kx₁-k)+(kx₂-k)=k(x₁+x₂)-2k=18k³/(4+9k²)-2k=-8k/(4+9k²)
设弦的中点的坐标为(x，y)，那么：
x=(x₁+x₂)/2=9k²(4+9k²).............(1)
y=(y₁+y₂)/2=-4k/(4+9k²)...........(2)
(1)和(2)就是弦的中点轨迹的参数方程，消去参数k:
(1)÷[(2)×k]得 x/ky=-9/4，即有9ky+4x=0，将k=y/(x-1)代入得：9y²/(x-1)+4x=0，即有：
9y²+4x(x-1)=0，或写成9y²+4(x²-x)=9y²+4[(x-1/2)²-1/4]=9y²+4(x-1/2)²-1=0
也就是有9y²+4(x-1/2)²=1为所求，这是一个中心在(1/2，0)，焦点在x轴上，a=1/2，b=1/3的椭圆

Answer 2

解：设弦AB的斜率为k A(x1,y1) B(x2,y2)弦AB的方程为y=k(x-1)代入4x^2+9y^2=36。4x^2+9k^2(x-1)^2=36x1+x2=18k^2/(9k^2+4)中点M的横坐标x=9k^2/(9k^2+4)y1+y2=-8k/(9k^2+4)中点M的纵坐标y=-4k/(9k^2+4)x/y=-9k/4k=-4x/9y 代入x=9k^2/(9k^2+4)整理得4x^2+4x+9y^2=04(x+1/2)^2+9y^2=1