Question

高斯分布

Answer 1

其中参数： 被叫做均值， 被叫做方差，方差的平方根，由 给定，叫作标准差，方差的倒数 ，叫作精度。

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根据上式，我们可以得到：

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并且很容易证明高斯分布式高度归一化的，因此：

因此式（1.46）满足合理地概率密度函数的两个要求。
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我们已经能够找到关于 的函数在高斯分布下的期望，特别地， 的平均值为：

的方差被定义为：

分布的最大值被叫做众数，对于高斯分布，众数与均值恰好相等。
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对于 维向量 的高斯分布：

上式就是高斯分布的似然函数。
使用一个观测数据集来决定概率分布的参数的一个通用规则是寻找使似然函数取得最大值的参数值。简化后续数学分析和有助于数值计算，写作对数形式：

关于 ，最大化函数可以求得最大似然解：

这是样本均值，及观测到的{ }的均值。关于 最大化函数，我们求得方差的最大似然解：

这是关于样本均值 的样本方差，注意我们要同时关于 和 来最大化函数，但是在高斯分布的情况下， 的解和 无关，因此我们可以先对 求解，然后再对 求解。
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下面的对于方差参数的估计是无偏的：

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