一道不定积分的题目 求下列积分 x(arcsinx)(dx)
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分部积分法：∫x(arcsinx)dx
＝1/2×∫arcsinx (x^2)
＝1/2×x^2×arcsinx－1/2×∫x^2/√(1-x^2)dx
对∫x^2/√(1-x^2)dx,使用分部积分法（也可以用换元法）
∫x^2/√(1-x^2)dx
＝－∫x d√(1-x^2)
＝－x√(1-x^2＋∫√(1-x^2)dx
＝－x√(1-x^2＋∫1/√(1-x^2)dx－∫x^2/√(1-x^2)dx
＝－x√(1-x^2＋arcsinx－∫x^2/√(1-x^2)dx
所以,∫x^2/√(1-x^2)dx＝－1/2×x√(1-x^2)＋1/2×arcsinx＋C
所以,∫x(arcsinx)dx＝1/2×x^2×arcsinx＋1/4×x√(1-x^2)－1/4×arcsinx＋C
＝1/2×∫arcsinx (x^2)
＝1/2×x^2×arcsinx－1/2×∫x^2/√(1-x^2)dx
对∫x^2/√(1-x^2)dx,使用分部积分法（也可以用换元法）
∫x^2/√(1-x^2)dx
＝－∫x d√(1-x^2)
＝－x√(1-x^2＋∫√(1-x^2)dx
＝－x√(1-x^2＋∫1/√(1-x^2)dx－∫x^2/√(1-x^2)dx
＝－x√(1-x^2＋arcsinx－∫x^2/√(1-x^2)dx
所以,∫x^2/√(1-x^2)dx＝－1/2×x√(1-x^2)＋1/2×arcsinx＋C
所以,∫x(arcsinx)dx＝1/2×x^2×arcsinx＋1/4×x√(1-x^2)－1/4×arcsinx＋C
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