Question

请问这个存在连续导函数应该怎么证明？

Answer 1

（1）显然函数项级数的通项un在（0,1）连续可导
（2）取x0=1/2，则通项0<un(x0)<1/n^2，因为常数项级数∑1/n^2收敛，由比较判别法可知原函数项级数在x=x0=1/2也收敛
（3）接下去只需要证明∑un'(x)在（0,1）上一致收敛，结合（1）（2）（3）就能说明
f'(x)=∑un'(x)，并且由于un'(x)都是连续函数，∑un'(x)一致收敛，所以f'(x)也是连续函数，即f(x)存在连续的导函数f'(x)。
∑un'(x)在（0,1）上一致收敛的证明如下：因为un'(x)=1/((n^2)*(1+nx))<1/n^2，
所以对任意小的ε>0，存在N>1/ε，使得对任意n>N有
丨∑(i=n到+∞)ui'(x)丨=∑(i=n到+∞)ui'(x)=<∑(i=n到+∞)1/i^2<∑(i=n到+∞)1/(i*(i+1))
=∑（i=n到+∞)(1/i-1/i+1)=1/n<1/N<ε
因此∑un'(x)在（0,1）上一致收敛。
纯手打，望采纳。

追问

x0等于1/2那一步可以麻烦具体说一下吗，题干分母是x³

追答

题干分母不可能是x^3，如果是x^3,函数项级数就不收敛了也就不存在和函数f(x)了。
题干里就是n^3，第二步就是在函数项级数里让x=1/2带进去，这样通项为ln(1+n/2)/n^3，显然0<ln(1+n/2)<n/2<n，所以0<ln(1+n/2)/n^3<1/n^2。