Question

计算由直线y=x-4,由曲线y=根号2x以及x轴所围成图形的面积？

Answer 1

计算由直线y=x-4,由曲线y=√(2x) 以及x轴所围成图形的面积
解一：令(x-4)=√(2x),得x²-8x+16=2x,即有x²-10x+16=(x-2)(x-8)=0,得x₁=2,x₂=8；
由于y=√(2x)≧0,故该曲线在x轴的下方无图,所以x₁=2应舍去；直线与曲线只有一个交点(8,4)
再令y=x-4=0,得直线与x轴的交点(4,0)；
故按题意所围图形的面积S=【0,8】∫√(2x) dx-(1/2)×(8-4)×4=[(2√2)/3]x^(3/2)︱【0,8】- 8
=[2(√2)/3]8^(3/2)-8=[2(√2)/3]×16√2-8=64/3-8=40/3
解二：也可以对y积分,这时要把y=√(2x)写成x=y²/2；把y=x-4写成x=y+4；则
所围图形的面积S=【0,4】∫(y+4-y²/2)dy=[y²/2+4y-y³/6]【0,4】=8+16-64/6=24-32/3=40/3,3,