Question

已知三角形ABC中,∠A=90°,AD是BC边上的高,BE是角平分线,且交AD于P。求证:AE=AP

不要用等腰三角形的性质！！！！！

Answer 1

在BC边上截取BG = AB

连结PG，EG

因为BP是∠ABC的角平分线

∴∠ABP = ∠GBP

∵AB = BG，BP = BP

∴△ABP ≌△GBP

∴AP = PG，

∠BAP = ∠BGP

∵∠BAC = 90°，AD⊥BC

∴∠BAD = ∠C

∴∠PGD = ∠C

∴PG//AC

∵AB = BG，∠ABE = ∠GBE，BE = BE

∴△ABE≌△GBE

∴∠ABE = ∠BGE = 90°

∴EG⊥BC

∵AD⊥BC

∴AD//EG

∴四边形APGE是平行四边形

∴PG = AE

∵AP = PG

∴AE = AP