Question

初中奥数题

1已知定理“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数”。试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论。
2正整数n小于100，并且满足等式[n/2]+[n/3]+[n/6]=n,其中[x]表示不超过x的最大整数,这样的正整数n有多少个?
3已知a,b是正整数,且b≤100，在将分数a/b化成十进制小数时,小明得到小数点后某连续三位数字为1,4,3，试证明小明的计算是错误的.
4能将任意8个连续的正整数分成两组,使得每组4个数的平方和相等吗?如果能,请给出一种分组法,并加以证明;如不能,请说明理由.

希望能帮帮忙,最好给出详细的求解过程.这些题目是选自启东书上的.谢谢!

Answer 1

题1,2较简单，而且GoffeRong也给出了答案，我就不重复了。
题3
由于不是当面讲，用文字来表述显得有些力不从心，所以就要求你也要多从表面文字理解出不易表述出的真实含义。
首先来构造模型：a/b＝S(0).S(1)+S(2)+S(3)+...+S(n-1)+1+4+3+S(n+3)+s(n+4)+...
这里括号中的数是下标，这个下标有两层含义:表明是小数点后第几位,同时给这个位置起个名。S(0)为不小于0的整数，S(1)，S(2),S(n),S(n+3)...为0...9之间的整数。在等式的右边可以看到一段为...143...的值。其中的1所在的位置是第n位。
由题目的条件可得出:当等式的右边乘以b,应该得到一个小数点后跟一串9的数，
即是：(S(0).S(1)+S(2)+S(3)+...+S(n-1)+1+4+3+S(n+3)+s(n+4)+...)*b=(a-1).999999...
注：.是小数点，...是省略号。
至此，准备工作完成，正式开始解题。
考察第n位的值9,从S(0)到S(n-1)在乘以b后,都不可能影响到结果中的第n位(不论S(0)到S(n-1)取任何值,也不论b取任何值),这点很重要,你可以自己举例来体会。
从n+3位开始往后的所有位，在乘以b后，所能得的最大值是0.000...000999999...，其中9开始于n+1位，要取得最大值，S(n+3)及以后的S都取9,b也取能取的最大值100。
由此可以看到，当我们把这两部分减去后，得0.000...000XX9XXX... ，其中的9在第n位。(X为不定的整数)
这其中的XX9XX是从n-2到n+2的五位，是由143乘以b得到的，所以原问题经过分析，已经变成了如何能使143*b＝XX9XX，(比如143*27＝03861，这儿的8是不满足条件的，我们需要找到能使之等于9的b值)。
b的取值是1到100，若一个个试显然费劲，还好，我们发现143*7＝1001,143*14＝2002, ... ,143*98＝14014,换句话说，当b取7的倍数时，刚好超过取得9的机会，我们从这些积中减1个143,看能不能取得9,这可以减少很多工作量。这些积的个数有[100/7]=14个。比如1001-143=0858。剩下的13个你自己试吧。
最后可以看到：没有一个可以满足，因此小明做错了。

题4
设8个连续的数为N+1到N+8,将它们按顺序2个一组求平方差，即：
(N+2)**2-(N+1)**2=2N+3 (**为指数符号)
(N+4)**2-(N+3)**2=2N+7
(N+6)**2-(N+5)**2=2N+11
(N+8)**2-(N+7)**2=2N+15
有没有看出什么规律?对,这些平方差是等差数列!
所以(2N+3)+(2N+15)=(2N+7)+(2N+11)
即是(N+2)**2-(N+1)**2+(N+8)**2-(N+7)**2=(N+4)**2-(N+3)**2+(N+6)**2-(N+5)**2
得出(N+1)**2+(N+4)**2+(N+6)**2+(N+7)**2=(N+2)**2+(N+3)**2+(N+5)**2+(N+8)**2
即第1,4,6,7的平方和与2,3,5,8的平方和相等,而且不论N取何值。

Answer 2

1,c=2a+5b
a+b+c=a+b+2a+5b=3a+6b=3(a+2b)
所以n最大可能值是3

2，[n/2]≤n/2
[n/3]≤n/3
[n/6]≤n/6
所以[n/2]+[n/3]+[n/6]=n≤n/2+n/3+n/6
所以[n/2]=n/2，[n/3]=n/3，[n/6]=n/6
所以n是6的倍数
所以n有16个

3，不会

4，假设8个数中最小的是x，然后其余的数分别是(x+1),(x+2).....(x+7)
他们的平方分别是x^2,x^2+2x+1,x^2+4x+4,x^2+6x+9,x^2+8x+16,x^2+10x+25,x^2+12x+36,x^2+14x+49
如果按x的系数来分，肯定是中间4个一组，其余4个一组，但这样常数项的和又不相等。
所以无法分组。