Question

为什么两边对x求导要取对数？

Answer 1

两边取对数，主要目的是将乘除法/幂指数运算转为加减法/乘除法，以达到简化运算的目的。

举几个简单的例子，

①试求y=x^sin(x)的导数。

取对数得到ln(y)=sin(x)*ln(x)

两边求导得到y'/y=cos(x)*ln(x)+sin(x)/x

故结果为y'=y*(cos(x)*ln(x)+sin(x)/x) = x^sin(x) * (cos(x)*ln(x)+sin(x)/x)

②例子二

已知随机变量X~Exp(lambda)，样本观测值为(x1,x2,...,xn)，当xi>0(对i=1,...,n)时，试求最大似然估计量。

最大似然函数L(x1,...,xn;lambda) = Π(lambda*exp(-lambda * xi))

取对数得到ln(L(x1,...,xn;lambda)) = n*ln(lambda) - lambda * Σ(xi)

求lambda的偏导数得∂(lnL)/∂(lambda) = n/lambda - Σ(xi)

令上式为零得lambda = n/Σ(xi)

所以最大似然估计量为n/Σ(Xi)

望采纳