Question

行列式的定理

整理一下行列式的定理！

Answer 1

第一章 行列式
1．把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也简称排列）。
2．n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示。
Pn=n!
3．当某两个元素的先后次序与先规定好的标准次序不同时，就说有1个逆序，所有逆序的总数叫这个排列的逆序数。逆序数为奇的排列叫做奇排列，逆序数为偶的排列叫做偶排列。
4．n阶行列式定义 个数，排成n行n列的数表做出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号（-1）的t次方，t为行按从小到大一次排列后，列标的逆序数。
5．n阶行列式记作det（aij）,计算n阶行列式，首先必须做出所有可能的不同行，不同列的n个元素的乘积，把这些乘积的第一个下标（行标）按自然顺序排列，然后再看列标排列的奇偶性。
5．定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论 奇排列变成标准排列对换次数为奇数，偶排列变成标准排列对换次数为偶数。
6．定理2 n阶行列式也可以按列定义，两者是相等的。见书9页。
7．性质1 行列式与其转置行列式相等。（转置 行列互换）
8．性质2 互换行列式两行（列），行列式相等。
推论 果行列式有两行（列）完全相同，此行列式等于零。
9．性质3 行列式的某一行（列）中的元素都同时乘以同一数k，等于用数k乘次行列式。
推论 列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
10.性质4 行列式如果有两行（列）元素成比例，此行列式等于零。
推论 列式有一行（列）全为零，此行列式等于零。
11.性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则行列式等于将这一列（行）分开到两个行列式之中的对应位置，其余元素的位置不变组成的两个行列式之和。
性质5表明：当某一行（列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（列）可以分解为两个行列式。若n阶行列式每个元素都表示为两数之和，则它可分解成2的n次方个行列式。
12.性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
结论 任何n阶行列式总能利用运算ri+krj化为上三角行列式，或下三角行列式。
书7页 例5 例6 书14页 例10 例11
13.在n阶行列式中，把（i,j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i,j）元aij的余子式，记做Mij；记
Aij= Mij
Aij叫做（i,j）元aij的代数余子式。
14.引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j）元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即
D=aij Aij
15.定理3 行列式等于它的任一行（列）的个元素与其对应的代数余子式乘积之和。
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的元素的代数余子式乘积之和等于零。
书17-19 例12
16.克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，那么，方程组有惟一解。
X1=D1/D X2=D2/D Xn=Dn/D
17.定理4 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则其一定有惟一解。
定理4’ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
18.定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则齐没有非零解。
定理5’ 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。

Answer 2

性质1 行列式与它的转置行列式相等.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．