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行列式定律

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艰学者
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第一章行列式定理、性质总结 原创
2018-12-13 18:08:47
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艰学者

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1、任一排列经过一次对换后奇偶性改变。

2、若n阶行列式中有n^{2}-n个以上的元素为零，则该行列式的值为零。

3、行列式与它的转置行列式相等，即D^{T}=D。

4、行列式的行与列具有同等的地位，对行成立的性质对列也同样成立，反之亦然。

5、互换行列式的任意两行（列），行列式仅改变符号。

6、如果行列式有两行（列）元素对应相同，则此行列式为0。

7、把行列式D的某一行（列）元素都乘以数k，其结果等于用数k乘以此行列式D。

8、行列式中如有两行（列）元素对应成比列，则此行列式等于0。

9、\begin{matrix} a_{11} a_{12} & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \end{matrix}，例如，第i行的元素是两数之和，D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{i1} +{a_{i1}}'& a_{i2}+{a_{i2}}' & \cdots & a_{in}+{a_{in}}'\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}，则D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ {a_{i1}}'& {a_{i2}}' & \cdots & {a_{in}}'\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}。

10、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一常数k，然后加到另一行（列）对应元素上去，行列式值不变。
n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。
按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。
例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为 ，它的展开式为ad-bc。
九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为 ，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。
在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。
定义1 n阶行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

的代数和，这里 是1,2，...，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当 是偶排列时带有正号，当 是奇排列时带有负号。这一定义可写成

这里 表示对所有n级排列求和， 表示排列 的逆序数。
由定义1立即看出，n阶行列式是由n! 项组成的。