Question

若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则

A α必可由β，γ，δ线性表示
B β必不可有α，γ，δ线性表示
C δ必可由α，β，γ线性表示
D δ必不可由α，β，γ线性表示

答案是C，请解释下其余三个为什么不对 谢谢~

Answer 1

α，β，γ
线性无关
，α，β，Q
线性相关
，故Q可以用α，β
线性表
出，即存在x，y使得Q=xα+yβ
那么α，β，γ-（xα+yβ）也线性无关。
可以
反证
，设其线性相关，那么存在m，n，l不全为零，使得mα+nβ+l(γ-Q)=0，那么必然有l≠0，否则α，β线性相关，矛盾，故l≠0，那么有l(γ-Q)=-（mα+nβ），即γ=-（mα+nβ）/l+Q=-（mα+nβ）/l+（xα+yβ），及γ可以被α，β线性表出，与条件矛盾，故结论成立。

Answer 2

可以举出统一的反例：
α=(1,0,0)，β=(0,1,0)，γ=(0,0,1)，δ=(0,1,0)，
满足条件“α,β,γ线性无关，α,β,δ线性相关”，但A,B,D都不成立：
A. α无法由β,γ,δ线性表示
B. β=δ
D. δ=β