Question

在三角形ABC中，AB＝AC，BE⊥BC于B，CF⊥BC于C，过点A的直线分别与BE,CF交于E,F。求证AE等于AF

Answer 1

作AD⊥BC，垂足D，过A作MN//BC，交BE于M，CF于N，

AB=AC，故BD=CD，

EB⊥BC，FC⊥BC，

EB//FC，

MB//CN

四边形BCNM是矩形，

MN=BC，四边形AMBD和四边形ANCD都是矩形，

AM=BD，AN=CD，

AM=AN，

〈AME=〈ANF=90度，

〈MAE=〈NAF（对顶角）

RT△MAE≌RT△NAF，

∴AE=AF。

Answer 2

延长BE，CA交于G

∵BE⊥BC，BF⊥BC
∴BE//BF
∴∠G = ∠ACF
∵AB = AC
∴∠ABC = ∠ACB
∴∠ABE = ∠ACF
∴∠ABE = ∠G
∴AG = AB
∵AB = AC
∴AG = AC
∵GE//CF
∴EA：AF = AG：AC = 1：1
∴AE = AF