Question

已知向量a=(根3cosx-根3,sinx),向量b=(1+cosx,cosx),设f(x)=向量a乘向量b

(1)求f(25pai/6)的值
(2)当x属于[-pai/3,pai/6]时,求函数f(x)的值域

Answer 1

f(x)=ab=(√3cosx-√3,sinx)(1+cosx,cosx)
=√3cos²x-√3+sinxcosx
=√3/2cos2x + 1/2sin2x -√3/2
=sin(2x+π/3)--√3/2
∴f(25π/6)=sin(2*25π/6+π/3)--√3/2
=sin(8π+2π/3)-√3/2
=sin(2π/3)-√3/2
=√3/2-√3/2=0

x∈[-π/3,π/6] 2x＋π/3∈[-π/3,2π/3]
由正弦函数的图像可知
当 2x＋π/3=-π/3时，f(x)有最小值，为-√3；
当2x＋π/3=2π/3时，f(x)有最大值，为1- （√3/2）。
∴f(x)的值域 为 【-√3，1- √3/2】

Answer 2

首先求出
f(x)=√3cos²x-√3+sinx*cosx

① 直接代入f(25π/6)=0
②f(x)=√3cos²x-√3+sinx*cosx
=sin(2x+π/3)-√3/2
再结合sinx的单调性，考虑x的区间[[-pai/3,pai/6]
所以得到f(x)∈[-（1+√3）/2，1-√3/2]