Question

设a∈R,函数f（x）=ax³-3x² 若函数g（x）＝f（x）+f′（x）,x∈（0,2

设a∈R,函数f（x）=ax³-3x² 若函数g（x）＝f（x）+f′（x）,x∈（0,2）,在x＝0处取得最大值，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=3ax^2-6x,
g(x)=ax^3+(3a-3)x^2-6x,x∈（0,2）,在x＝0处取得最大值,
∴g'(x)=3ax^2+(6a-6)x-6<0在x∈（0,2）成立，
1)a=0时g'(x)=-6x-6<0,在x∈（0,2）成立.
2)a≠0时g'(x)=3a{x-[1-a-√(a^2-2a+3)]/a}{x-[1-a+√(a^2-2a+3)]/a},
i)a>0,[1-a-√(a^2-2a+3)]/a<=0,①2<=[1-a+√(a^2-2a+3)]/a,②
由①，1-a<=√(a^2-2a+3),
a>=1时成立；0<a<1时平方得1-2a<=-2a+3,也成立。
由②，3a-1<=√(a^2-2a+3),
0<a<1/3时成立；a>=1/3时，平方得9a^2-6a+1<=a^2-2a+3,
8a^2-4a-2<=0,4a^2-2a-1<=0,解得1/3<=a<=(1+√5)/4.
∴0<a<(1+√5)/4.
ii)a<0时[1-a+√(a^2-2a+3)]/a<0<[1-a-√(a^2-2a+3)]/a,g'(x)<0不成立。
综上，0<a<(1+√5)/4，为所求.