Question

有关圆的题目

如图，圆O1，圆O2相交于A,B,圆O与圆O1，圆O2分别内切于C,D,AB的延长线交圆O于E,分别连接CE,DE与圆O1，圆O2交于点M,N,求证：MN是圆O1，圆O2的公切线。

Answer 1

连接CD，过E作⊙O的切线FG，如图。对于⊙O有∠DEG=∠DCE；

对于⊙O1和⊙O2，由题设并割线定理知EB*EA=EM*EC=EN*ED,∴M、N、D、C四点共圆，

则有∠DCE=∠MNE，∴∠MNE=∠DEG，得MN∥FG。

∵⊙O与⊙O1内切于C，∴O、O1、C三点共线，连接OC、O1M、OE，由半径相等可证

∠ECO=∠CMO1=∠CEO,得O1M∥OE,

∵FG是⊙O的切线，∴OE⊥FG，则O1M⊥FG，

∵MN∥FG，∴O1M⊥MN，故MN是⊙O1的切线。

⊙O2与⊙O1具有同等的几何位置，同样可证MN是⊙O2的切线，

∴MN是⊙O1和⊙O2的公切线。证毕。

后记：本题结构复杂，直接证明两线垂直有困难。设法用另一个垂直关系与待证的进行比较方能达到目的。

Answer 2

因弦把圆分成5比1，圆半径是2，
作与弦垂直的半径，得，离圆心的近的这一部分弦长为2乘以5/6=5/3cm.
，根据勾股定理，弦的一半长的平方为
2的平方-5/3的平方=11/9，解得弦的一半长为三分之根号11，则弦长为三分之二根号11.