Question

设函数f(x)=1/3x³+ax²+5x+6在区间[1，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）

A．（-∞，-3] B．[-√5 ，√5] C．[-√5，+∞) D．（-∞，-3]∪[-√5，+∞)

网上的答案解析是：求出函数f（x）的导函数f′（x），得f′（x）=x²+2ax+5，

根据题意可知，导函数在区间[1，3]的值大于0，
若△＜0，即-求出函数f（x）的导函数f′（x），得f′（x）=x²+2ax+5，
根据题意可知，导函数在区间[1，3]的值大于0，
若△＜0，即-√5＜a＜√5时，恒成立．
若△≥0时，a≤-√5或a≥√5，
当a≤-√5时，最小值为f′（a）=3a^2+5恒大于0．
当a≥√5时，最小值f′（1）=6+2a≥0，得a≥√5 ．
故选C．

我到“若△＜0，即-√5＜a＜√5时，恒成立．”还看得懂，但后面的就看不懂了，为什么若△≥0时得出a≤-√5或a≥√5，不能推出a可取全体实数？后面分类讨论为什么当a≤-√5 时，最小值取x=a？当a≥√5时，又取x=1？求详细解答。

Answer 1

f′（x）=x²+2ax+5=(x+a)^2+5-a^2
根据题意可知，导函数在区间[1，3]的值大于0，
也就是f'(x)min≥0，
下面求f'(x)min:

当-a∈[1,3]即a∈[-3,-1]时，
f'(x)min=f'(-a)=5-a^2≥0
解得-√5≤a≤√5
∴-√5≤a≤-1

当-a<1即a>-1时，f'(x)min=f'(1)=6+2a≥0
解得a≥-3
∴a>-1符合题意

当-a>3即a<-3时，f'(x)min=f'(3)=14+6a≥0
解得a≥-7/3 与a<-3交为空集

综上，a≥-√5

方法2：
x²+2ax+5≥0
即2ax≥-x²-5
2a≥-(x+5/x)
需2a大于等于-(x+5/x)的最大值
∵x+5/x≥2√5
∴-(x+5/x)≤-2√5
∴2a≥-2√5
∴a≥-√5
选C

Answer 2

根据题意可知，导函数在区间[1，3]的值大于0，若△＜0，即-求出函数f（x）的导函数f′（x），得f′（x）=x²+2ax+5，根据题意可知，导函数在区间[1，3]的值大于0，若△＜0，即-√5＜a＜√5时，恒成立．若△≥0时，a≤-√5或a≥√5，当a≤-√5时，最小值为f′（a）=3a^2+5恒大于0．当a≥√5时，最小值f′（1）=6+2a≥0，得a≥√5 ．故选C．

Answer 3

12345612345612345612345612345612345612487651878454575874744444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444