Question

数列an的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈正整数,总有an,Sn,an²成等差数列

⑴求a1，⑵求数列an的通项公式，⑶设数列bn的前n项和为Tn，且bn＝1／an²,求证，对任意正整数n，总有Tn＜2.

Answer 1

an,Sn,an²成等差数列
2Sn=an+an²
(1)
n=1时
2a1=a1+a1²
a1=a1²
an>0
∴a1=1
(2)
2Sn=an+an²
2S(n-1)=a(n-1)+a(n-1)²
上式-下式得
2[Sn-S(n-1)]=an+an²-a(n-1)-a(n-1)²
2an=an+an²-a(n-1)-a(n-1)²
an+a(n-1)=an²-a(n-1)²
an+a(n-1)=[an+a(n-1)][an-a(n-1)]
∵an的各项均为正数
∴an+a(n-1)>0
∴an-a(n-1)=1
∴an是等差数列
an
=a1+(n-1)*1
=1+n-1
=n
(3)
bn＝1／an²
bn=1/n²=1/(n*n)<1/[n*(n-1)]=1/(n-1)-1/n.........n>=2
bn<1/(n-1)-1/n.........n>=2
n=1时
b1=1
n>=2时
b2<1-1/2
...
bn<1/(n-1)-1/n
n>=2时
Tn=b1+b2+b3+...+bn
<1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=2-1/n
n=1时
Tn=b1=1<2
n>=2时
Tn<2-1/n<2
∴综上对任意正整数n，总有Tn＜2.

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